o matematyce słów kilka

Ciąg Fibonacciego

Posted by ilmarinen on January 9th, 2010

Ciąg Fibonacciego wygląda ta:
$1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584 \ldots$

Dla laika jest to po prostu ciąg liczb, podany bez większego sensu. Jest jednak inaczej. Owy ciąg tworzy następująca formuła: $F_n:=\begin{cases}1 \ \ dla \ n=1 \\ F_{n-1}+F_{n-2} \ \ dla \ n>1 \end{cases}$

Teraz staje się wszystko jasne. Pozostaje pytanie co niezwykłego jest w tym ciągu liczb…
Ciąg Fibonacciego występuje bardzo często w przyrodzie jako liczba spiral utworzonych z ziaren słonecznika (34 spirale w jednym kierunku i 55 w przeciwnym) a także w proporcjach budynków w projektach architektonicznych.

Ciąg Fibonacciego ujrzał światło dziennie w 1202 roku jako dzieło Liber abaci w dziele opublikowanym przez Leonarda z Pizy (inaczej zwanym Fibonaccim).

Wyobraźmy sobie portfel, w którym mamy monety 1zł i 2zł. Jak zliczyć na ile sposobów można wyciągnąć monety aż do żądanej kwoty? 4zł wyciągniemy na kilka sposobów: 1+1+1+1, 2+1+1,1+2+1,1+1+2 oraz 2+2. Łącznie jest 5 sposobów a to jest 5 liczba ciągu Fibonacciego. 20zł wyciągniemy na 6765 sposobów a to jest 21 liczba ciągu Fibonacciego,

Na sam koniec dowiemy się coś na temat tzw. złotego stosunku. Obliczając stosunek liczby Fibonacciego do jej poprzedniczki w ciągu, wartości liczb zbliżają się bardzo szybko do liczby znanej jako złoty stosunek.

Wynosi ona: $\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

matematyka, teoria liczb 3 Comments »

Liczby doskonałe

Posted by ilmarinen on December 21st, 2009

Witam ponownie na blogu. Dziś o doskonałości.
Nawet wśród prostych liczb tj 1,2,3,4,5… mamy podziały. Najprostszy z nich to podział na liczby niedomiarowe,nadmiarowe i doskonałe.

Rozważmy wszystkie dzielniki dodatnie liczby 30. Są to: 1,2,3,5,6,10,15. Ich suma jest równa 42. Taką liczbę, której suma dzielników daje większa liczbę, nazywamy liczbą nadmiarową.

Z kolei liczba np 26 ma takie dzielniki dodatnie: 1,2,13. Ich suma do 26 a więc jest mniejsza od danej liczby. Taką liczbę nazwiemy liczbą niedomiarową.

Pozostaje pytanie, jakie to są liczby doskonałe. Ano właśnie takie, których suma dzielników właściwych jest równa danej liczbie.

Przykładem takiej liczby jest liczba 6, ponieważ jej dzielniki: 1,2,3 dają w sumie 6.

Kolejnymi liczbami doskonałymi są: 28,496,8128,33 550 336, 8 589 869 056, 137 438 691 328…

Ciekawostką jest, że do dziś nie wiemy czy istnieje nieparzysta liczba doskonała.

matematyka, teoria liczb 1 Comment »

Butelka Kleina

Posted by ilmarinen on December 16th, 2009

Dziś króciutko o obiekcie zwanym butelką Kleina. Obiekt ów powstaje poprzez utożsamienie (”sklejenie”) wszystkie punkty brzegu wstęgi Möbiusa o której była mowa w poprzednim artykule, lub sklejenie dwóch wstęg brzegami.

Butelki owej nie da się “włożyć” w przestrzeni trójwymiarowej ponieważ powstaną sklejenie i przecięcia, jednak w przestrzeni czterowymiarowej do tych “brzydkich” operacji nie dojdzie.

Butelka owa została opisana w 1882 przez niemieckiego matematyka Felixa Kleina.

A oto kilka obrazków ją przedstawiających:

matematyka, topologia 2 Comments »

Wstęga Möbiusa

Posted by ilmarinen on November 25th, 2009

Czymże jest owa wstęga?
Formalnie jest to dwuwymiarowa zwarta rozmaitość topologiczna istniejąca w przestrzeni trójwymiarowej.
Za wiele nam to nie mówi. Jest to jednak bardzo prosta konsturkcja, którą sami możemy utworzyć z paska papieru obracając go o 180 stopni i sklejając z drugim końcem.

Jak się okaże owa wstęga ma jedną stronę, co możemy sprawdzić prowadząc np. ołówkiem linię prostą przez środek papierowej wstęgi.

Owa wstęga po raz pierwszy została opisana przez niemieckiego matematyka Augusta Möbiusa w 1858 roku.

A oto kilka obrazków przedstawiających wstęgę:

Ciekawostką jest, że przecięcie wstęgi Möbiusa wzdłuż powoduje otrzymanie jednej, węższej wstęgi a z kolei po przecięciu wzdłuż, w jednej trzeciej szerokości, otrzymamy dwie wstęgi splecione ze sobą.

matematyka, topologia 2 Comments »

Układ Lorenza

Posted by ilmarinen on November 20th, 2009

Układ ten,tzw. dziwny atraktor został przedstawiony przez Edwarda Lorenza w 1963. Jest to układ trzech nieliniowych równań różniczkowych modelujący w prosty sposób zjawisko konwekcji termicznej w atmosferze.

A oto ten układ:
$\frac{dx}{dt}= \sigma(y-x)$
$\frac{dy}{dt}=x(r-z)-y$
$\frac{dz}{dt}=xy-bz$

gdzie $\sigma$ to liczba Prandtla, wyrażająca stosunek momentu dyfuzyjnego do dyfuzji na drodze termicznej a $r$ to liczba Rayleigha związana z przenoszeniem ciepła w płynach.

Dla $r=28, \sigma =10, b=\frac{8}{3}$ układ Lorenza wygląda tak:
Lorenz_system_r28_s10_b2-6666

Problem istnienia atraktora Lorenza okazał się nielada problemem. Dopiero w 2002 roku podano pełen dowód istnienia tegoż atraktora. Pełny dowód opublikował Warwin Tucker.

Pozostaje nam tylko jeszcze jedno pytanie: czym jest atraktor?

Atraktor to pewien zbiór w przestrzeni fazowej, do której w miarę upływu czasu, zmierzają wszystkie trajektorie.

matematyka, teoria chaosu No Comments »

Pochodna funkcji

Posted by ilmarinen on November 13th, 2009

Jeżeli $f$ jest funkcją rzeczywistą określoną w przedziale $(a,b)$ i $x_0$ , $x_0+h \in (a,b)$ , to:
$f'(x_0)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$
nazywamy pochodną funkcji $f$ w punkcie $x_0$ .

Weźmy sobie funkcje $f(x)=x^2$ i korzystając z powyższej definicji obliczmy $f'(x)$
A więc:
$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h}=\lim_{h\to 0}(\frac{2xh}{h}+\frac{h^2}{h})=\\ \lim_{h\to 0}(2x+h)=2x$

Oczywiście pochodną funkcji nie musimy liczyć zawsze z defnicji, ponieważ mam kilkanaście ogólnych wzorów, które możemy zastosować:

$y=c \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ y'=0$
$y=x \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ y'=1$
$y=x^n \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ y'=nx^{n-1}$
$y=\frac{1}{x} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ y'=-\frac{1}{x^2}$
$y=\sqrt{x} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ y'=\frac{1}{2\sqrt{x}}$
$y=a^x \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ y'=a^x ln a$
$y=e^x \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ y'=e^x$
$y=log_ax \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ y'=\frac{log_a e}{x}$
$y=lnx \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ y'=\frac{1}{x}$
$y=\sin x \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ y'=\cos x$
$y=\cos x \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ y'=-\sin x$
$y=\tan x \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ y'=\frac{1}{\cos^2 x}$
$y=\cot x \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ y'=-\frac{1}{\sin^2 x}$
$y=\arcsin x \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ y'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$y=\arccos x \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ y'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$y=\arctan x \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ y'=\frac{1}{1+x^2}$
$y=arccot x \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ y'=-\frac{1}{1+x^2}$

analiza matematyczna, matematyka No Comments »

Iloczyn kartezjański

Posted by ilmarinen on November 10th, 2009

Iloczyn kartezjański zbiorów $A$ i $B$ to zbiór wszystkich par uporządkowanych $(a,b)$ takich, że $a\in A$ , zaś $b\in B$ . Zbiór ten oznacza się symbolem $A\times B$ .

Kolejna definicja być może nie zrozumiała. Za chwilkę postaram się to wyjaśnić na przykładzie.

Niech będzie dany zbiór $A=\{1,2,3\}$ oraz zbiór $B=\{a,b\}$ . Iloczyn kartezjański zbiorów $A\times B=\{(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)\}$ .

Teraz mam nadzieje wszystko stało się jasne. Na koniec kilka własności:
$A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C)$
$A \times (B\backslash C) = (A \times B)\backslash(A \times C)$
$A \times (B \cup C) = (A\times B) \cup (A \times C)$
$(A \times B) \cap (C \times D) = (A \cap C) \times (B \cap D)$

algebra, matematyka No Comments »

Mnożenie macierzy

Posted by ilmarinen on November 3rd, 2009

Zajmiemy się w tym krótkim artykule mnożeniem macierzy. Krótki artykuł bo jeden przykład a po za tym to nic szczególnego, wystarczy policzyć kilka przykładów i każdy nabierze w tym wprawy.
Najpierw mnożenie macierzy przez liczbę:

$2 \cdot \begin{bmatrix} 1&3&2\\-1&3&4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2&6&4\\-2&6&8\end{bmatrix}$

A teraz mnożenie macierzy przez macierz. Najważniejsze co musimy zapamiętać to to, że macierz A można pomnożyć przez macierz B tylko wtedy, gdy liczba kolumn macierzy A jest równa liczbie wierszy macierzy B.

Oto przykład:
$\begin{bmatrix} 1&0&2\\-1&3&1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3&1\\2&1\\1&0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1\cdot 3+0\cdot 2 + 2\cdot 1) &(1\cdot 1 + 0\cdot 1 + 2\cdot 0)\\ (-1\cdot 3+3\cdot 2+1\cdot 1)& (-1\cdot 1+3\cdot 1+1\cdot 0)\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5&1\\4&2\end{bmatrix}$

Miłego mnożenia macierzy :)

algebra, matematyka 4 Comments »

Hipoteza continuum

Posted by ilmarinen on October 30th, 2009

Wyobraźmy sobie coś co gdy zaakceptujemy będzie dobre i jednocześnie odrzucając to będzie tak samo dobrze jakbyśmy to zaakceptowali. Czy takie coś może istnieć w matematyce? Okazuje się, że tak.
Jest to niezwykle sławna w świecie matematyki, hipoteza continuum, o której dziś będzie mowa.

Jest to hipoteza postawiona przez twórcę teorii mnogości, Georga Cantora. Znalazła się ona jako nr 1 na liście Hilberta, liście przedstawiającej otwarte problemy matematyki. Dotyczy ona mocy(liczby elementów) zbiorów liczb naturalnych i rzeczywistych. Pytanie przez nią stawiane brzmi: czy istnieje zbiór mocy większej niż zbiór liczb naturalnych a mniejszy od mocy zbioru liczb rzeczywistych.

Problem okazał się nie lada wyzwaniem dla matematyków. W 1940 Kurt Godel, sławny matematyk, udowodnił niesprzeczność tej hipotezy z aksjomatami teorii mnogości a 1963 Paul Cohen udowodnił niezależność jej od aksjomatów teorii mnogości, co oznacza, że może istnieć matematyka z hipotezą continuum przyjętą jako aksjomat jak i matematyka bez niej, nie wprowadzając jednocześnie żadnych sprzeczności.

Uogólniona hipoteza continuum mówi, że dla żadnego zbioru nieskończonego A nie istnieje zbiór B, którego moc byłaby większa od mocy zbioru A, ale mniejsza od mocy zbioru potęgowego A

Tak więc matematyka odkryła przed nami swe piękne oblicze,poprzez uchylenie rąbka tajemnicy na temat swoich aksjomatów.

matematyka, teoria mnogości No Comments »

Liczby zespolone: część II – równania zespolone

Posted by ilmarinen on October 27th, 2009

Dziś rozwiążemy równanie w ciele liczb zespolonych. A oto nasze równanie:
$z^2 + (1+4\i)z - (5+\i)=0$

Zasada jest taka sama jak przy rozwiązywaniu równań kwadratowych.
Obliczamy $\Delta =(1+4\i)^2 - 4 \cdot 1 \cdot [-(5+\i)]= 1+8\i+16\i^2+20+4\i=5+12\i$

Następnie wyliczamy $\sqrt{\Delta} = \sqrt{5+12\i}$ i w tym celu wprowadzamy oznaczenie $\sqrt{5+12\i} = x+y\i$ gdzie $x,y \in R$ to niewiadome. Podnosimy równość do kwadratu i otrzymujemy: $5+12\i = x^2-y^2+2xy\i$

$\begin{cases} 5=x^2-y^2\\12=2xy\end{cases}$ czyli $\begin{cases} 5=x^2-y^2\\6=xy\end{cases}$

Z drugiego równania $y=\frac{6}{x}$ czyli $5x^2=x^4-36$ ,czyli $x^4-5x^2-36=0$
Teraz za $x^2=t$ co daje nam $t^2-5t-36$ . $\Delta_1=169$ a $\sqrt{\Delta_1}=13$ stąd $t_1=-4, t_2=9$ . PIerwsza równość daje $x^2=-4$ co nie ma pierwiastków w liczbach rzeczywistych oraz $x^2=9$ o pierwiastkach $x=-3, x=3$ Ostatecznie $\sqrt{\Delta}=\pm(3+2\i)$ . Dlatego $z_1=\frac{-1-4\i+3+2\i}{2}=1-\i$ oraz $z_2=\frac{-1-4\i-3-2\i}{2}=-2-3\i$ .