Dziś zajmiemy się jednym z nierozwiązanych Problemów Milenijnych, za które jest nagroda równa 1mln $. Zaczniemy od przedstawienia wzory na funkcję dzeta. A wygląda ona tak: Funkcja ta daje się jednoznacznie przedłużyć analitycznie na całą płaszczyznę zespoloną, nie licząc punktu Ogólnie funkcję zeta Riemanna możemy zapisać w poniższy sposób: Dla mamy Z powyższego wyrażenia wyniki, […]
Rozmaitości różniczkowalne
Na początek chciałbym zaprosić Was do czytania i obserwowania bloga mojego przyjaciela. Tutaj link: http://datart.pl/. Znajdziecie na nim wpisy o tematyce programowania. Serdecznie zapraszam! Pierwszym przykładem rozmaitości różniczkowalnej będzie sfera. Niech dany będzie podzbiór w , gdzie Określimy teraz atlas na zbiorze z topologią indukowaną z przestrzeni . Rozważmy dwe przeciwległe bieguny sfery leżące na […]
Teoria chaosu: Fraktale część I
Dziś zajmiemy się wprowadzeniem w tematykę fraktali. Dokładniej zajmiemy się wymiarem Hausdorffa zbioru i definicją fraktala. Na początek zaznaczę, że wszystkie rozważania dotyczą zbiorów w przestrzeni z metryką euklidesową . By wprowadzić pojęcie wymiaru Hausdorffa zbioru niezbędne będą tu definicje i lematy przygotowawcze. Średnicę zbioru nazywamy: -pokryciem zbioru A () nazywamy przeliczalną rodzinę zbiorów , […]
Liczby Fibonacciego
Dziś zajmiemy się liczbami Fibonacciego. Czym są owe liczby? Są to jeden z najpopularniejszych liczb występujących w informatyce. Fibonacci w swojej książce Liber abaci zawarł pytanie dotyczące rozmnażania się królików. Chodzi o to, że mamy parę nowo narodzonych królików i o każdej parze zakładamy, że: -nowa para staje się płodna po miesiącu życia -każda para […]
Kryteria zbieżności szeregów cz. I
Witam! Może na początek czym jest szereg. Szereg – konstrukcja umożliwiająca wykonanie uogólnionego dodawania przeliczalnej liczby składników. Może on się składać z wyrazów liczb rzeczywistych, liczb zespolonych czy funkcji (wtedy mówi się o szeregach funkcyjnych). Warto na początek dodać, że szereg jest zbieżny jeśli ciąg sum ma granicę skończoną. Zaczniemy od kryterium porównawczego: Załóżmy, że […]
Teoria grup: część II – Przykłady grup
Witam, w tym artykule przedstawię kilka przykładów grup. Pojawią się grupy abelowe, rzędów p, grupy kwaternionów czy też grupy permutacji. Na początek o elementarnych grupach abelowych p-grupy. Niech będzie liczba pierwszą, a – liczbą naturalną. Grupę , nazywamy -grupą elementarną abelową i oznaczamy przez . Grupa ta jest przestrzenią liniową wymiaru nad ciałem -elementowym . […]
Czarne dziury
Witam, w dzisiejszym artykule poruszymy problem czarnych dziur. Dokładnie powiemy o czarnej dziurze Schwarzschilda Na początek czym jest czarna dziura? Czarna dziura to obszar czasoprzestrzeni, którego z uwagi na wpływ grawitacji, nic (łącznie ze światłem) nie może opuścić. Najprościej można mówić o czarnej dziurze powstałej w wyniku zapadania grawitacyjnego, gwiazdy odpowiednich obszarów. Zaczynamy! Aby przestawić […]
Tensory
1. Transformacje układów współrzędnych Operacja liniowa: lub (wzór 1) definiuje w przestrzeni trójwymiarowej transformację układu współrzędnych. i są współrzędnymi tego samego punktu w dwóch różnych układach współrzędnych. Zamiast posługiwać się powyższym wzorem można zastosować konwencje sumacyjną Einsteina: dla Konwencje sumacyjną można wytłumaczyć tak: Jeśli jakiś indeks pojawia się dwa razy to całe wyrażenie jest sumowane […]
Transformata Laplace’a
Funkcja spełniająca warunki: 1. funkcja dla i jest określona dla 2. rośnie nie szybciej niż funkcja wykładnicza, czyli , gdzie i 3. ma skończoną liczbę punktów nieciągłości(dla każdego z tych punktów istnieje granica lewo- i prawo- stronna odpowiada w dziedzinie częstotliwości zespolonych funkcja zwana transformatą funkcji . Przejście z do definiiujemy tak: i oznaczamy Teraz […]